Orthogonalité - Vecteurs orthogonaux - Math'φsics

Orthogonalité - Vecteurs orthogonaux

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

En bref
Orthogonalité : existence d'un angle droit
(Angle droit)

Définition

Eléments orthogonaux
Deux éléments \(f\) et \(g\) sont dits orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul
(Produit scalaire)

Algèbre bilinéaire
Définition :
Soit \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) une forme bilinéaire symétrique
On dit que deux vecteurs \(x,y\) sont orthogonaux, et on note \(x\perp y\) si $$\sigma(x,y)=\sigma(y,x)=0$$
(Forme bilinéaire, Fonction symétrique)

Orthogonalité d'un élément et d'un ensemble
On dit que \(f\) est orthogonal à \(G\) si \(f\) est orthogonal à tous les éléments de \(G\)

Ensembles orthogonaux
Ensembles orthogonaux - Complément orthogonal

Orthogonalité d'un élément et d'un ensemble de combinaisons linéaires de vecteurs
Soit \(H=\operatorname{Vect}(f_0,\ldots,f_n)\)
On dit que \(g\) est orthogonal à \(H\) si et seulement si \(g\) est orthogonale à \(f_i\) pour touts \(0\leqslant i\leqslant n\)

Formule pour orthogonaliser des vecteurs
Formule d'orthogonalisation : $$y^\prime:={{y-\frac{\sigma(x,y)}{q(x)}x}}$$

Notation
On note \(f\;\bot\;g\) l'assertion "\(f\) est orthogonal à \(g\)"

Exercices

Soit \(\alpha:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) une forme bilinéaire définie comme ceci : $$\alpha(x,y)=x_1y_1-x_3y_3+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2$$ et \(U\) le sous-espace de \({\Bbb R}^3\) engendré par \(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\)
Déterminer \(U^\perp\)

Trouver les \(X\) tels que \(\sigma(X,u)=0\) \(\to\) résoudre

\(X=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\in U^\perp\) si \(\forall u\in U\), \(\alpha(X,u)=0\)
$$\begin{align}&\alpha\left(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right)=0\\ \iff& x-z+x+y+y+z=0\\ \iff&2x+2y=0\end{align}$$
Donc \(U^\perp=\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right\}\) et \(\operatorname{dim} U^\perp=2\)

Soit \(\alpha:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) une forme bilinéaire définie comme ceci : $$\alpha(x,y)=x_1y_1-x_3y_3+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2$$ et \(U\) le sous-espace de \({\Bbb R}^3\) engendré par \(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\)
On a \(U^\perp=\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right\}=\{v_1,v_2\}\) et \(\operatorname{dim} U^\perp=2\)
Trouver \(U^{\perp\perp}\)

$$X=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\in U^{\perp\perp}\iff\alpha(X,v_1)=\alpha(X,v_2)=0\iff y=z$$ donc \(U^{\perp\perp}=\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right\}\)
Rétroliens :